Basic 101 : จำนวนประกอบ (Composite Number)

 จากเรื่องตัวประกอบของจำนวนนับและจำนวนเฉพาะ ในบทความที่เสนอไป บทความนี้จะขอนำเสนอ จำนวนนับในกลุ่มที่เรียกว่าจำนวนประกอบ (Composite Number) ซึ่งนิยามได้ว่า เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 1 และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ จำนวนนับที่มีจำนวนตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว ขึ้นไป

ตัวอย่างเช่น

4 เป็นจำนวนประกอบหรือไม่

ใช้ Rainbow Model จะได้ว่า ตัวประกอบของ 4 คือ 1 , 2 , 4  ดังนั้นมีจำนวนตัวประกอบ 3 ตัวดังนั้น 4 จึงเป็นตัวประกอบ  เราสามารถเขียน 4 ในรูปแบบการคูณกัน ได้ 2 รูปแบบ เช่น 1x4 , 2x2 

20 เป็นจำนวนประกอบหรือไม่

ใช้ Rainbow Model จะได้ว่า ตัวประกอบของ 20 คือ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 ดังนั้นมีจำนวนตัวประกอบ 6 ตัวดังนั้น 20 จึงเป็นตัวประกอบ  เราสามารถเขียน 4 ในรูปแบบการคูณกัน ได้ หลายรูปแบบ เช่น 1x20 , 2x10 เป็นต้น

คุณสมบัติที่สำคัญของจำนวนประกอบคือ สามารถเขียนจำนวนประกอบในรูปของการคูณการของจำนวนเฉพาะ ได้เพียงรูปแบบเดียว เท่านั้น (Prime Factorization) ดังแสดงในภาพ ซึ่งต่อไปจะเรียกว่า การแยกตัวประกอบเฉพาะ โดยการแยกตัวประกอบเฉพาะมีหลายวิธี ซึ่งจะนำเสนอต่อไป

เมื่อ 

n คือจำนวนประกอบ 

p1 , p2 , ... , pk คือจำนวนเฉพาะ

a1 , a2 , ... , ak คือ เลขชี้กำลัง

ตัวอย่างเช่น 

การแยกตัวประกอบเฉพาะ จะนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา ห.ร.ม. ค.ร.น. ต่อไป 

Basic 101 : จำนวนเฉพาะ (Prime Number)

จากเรื่องตัวประกอบของจำนวนนับ ในบทความนี้จะกล่าวถึงจำนวนเฉพาะซึ่งเป็นจำนวนที่มีความพิเศษ โดยจำนวนเฉพาะจะถูกนิยามไว้ดังนี้ครับ

จำนวนเฉพาะ (Prime Number) คือ จำนวนที่มีจำนวนตัวประกอบ 2 ตัวที่แตกต่างกัน คือ 1 และ ตัวมันเอง  ซึ่งประโยชน์ของการนำความรู้เรื่องจำนวนเฉพาะไปใช้ในอนาคตคือ การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนประกอบ (จำนวนประกอบในโลกประกอบขึ้นมาจากจำนวนเฉพาะ) การหา ห.ร.ม ค.ร.น   การทำเศษส่วนอย่างต่ำ การเข้ารหัสต่างๆในระบบรักษาความปลอดภัย

ลองพิจารณา 

2 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ 

ตัวประกอบของ 2 ตาม Rainbow Model คือ 1 , 2 ดังนั้น 2 เป็นจำนวนเฉพาะ 

3 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

ตัวประกอบของ 3 ตาม Rainbow Model คือ 1 , 3 ดังนั้น 3 เป็นจำนวนเฉพาะ

4 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

ตัวประกอบของ 4 ตาม Rainbow Model คือ 1 , 2 , 4 (มีตัวประกอบจำนวน 3 ตัว) ดังนั้น 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

5 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

 ตัวประกอบของ 5 ตาม Rainbow Model คือ 1 , 5 ดังนั้น 5 เป็นจำนวนเฉพาะ

1 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

ตัวประกอบของ 1 ตาม Rainbow Model คือ 1 ดังนั้น 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีจำนวนตัวประกอบ 1 ตัวไม่เข้าตามเงื่อนไขของจำนวนเฉพาะ และไม่เป็นจำนวนประกอบด้วยเนื่องจากไม่เข้าตามเงื่อนไขเช่นกัน

จำนวนเฉพาะที่มีบทบาทและใช้งานมากๆ ที่เด็กๆต้องจดจำ คือ 

2 , 3 , 5 , 7 , 11

จุดสำคัญที่นำไปใช้เช่นการแยกตัวประกอบเฉพาะ การหา ห.ร.ม ค.ร.น  ซึ่งจะมีขั้นตอนการหารด้วยจำนวนเฉพาะเหล่านี้เป็นหลัก ดังนั้น จึงต้องตรวจสอบการหารลงตัวพอดีด้วยจำนวนเฉพาะเหล่านี้หรือไม่ 

ข้อสังเกตุ

2 เป็นจำนวนคู่เพียงตัวเดียวที่เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก เลขคู่อื่นๆ จะสามารถหาร 2 ได้ลงตัวตามนิยามของเลขคู่ ดังนั้นจำนวนคู่อื่นๆ อย่างน้อยจะมี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นจำนวนคู่เหล่านั้นจึงมีจำนวนตัวประกอบมากกว่า 2 ตัวแน่นอน

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ประถมปลาย ระดับจังหวัด ปี 2567 ข้อ 2 (Sol-NAT-MATH20-2567-2)

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ระดับจังหวัด ปี 2567 ประถมปลาย ข้อนี้เป็นการวัดความรู้เรื่อง ตัวประกอบของจำนวนนับ ในการแก้ปัญหา  มาดูโจทย์กันครับ 

2. จงหาผลต่างของจํานวนตัวประกอบระหว่าง 50 และ 254

Sol. แนวคิดการแก้ปัญหา โจทย์ต้องการหาผลต่างของจำนวนตัวประกอบ ขั้นตอนการแก้ปัญหา มีดังนี้ครับ

1. หาจำนวนตัวประกอบของ 50

2. หาจำนวนตัวประกอบของ 254

3. ผลผลต่างของจำนวนตัวประกอบในขั้นตอนที่ 1 และ 2

มาเริ่มที่ ขั้นตอนที่ 1 จำนวนตัวประกอบของ 50 จาก Rainbow Model ได้ดังนี้ 1 , 2 , 5 , 10 , 25 , 50 (มี 6 ตัว)

ขั้นตอนที่ 2 หาจำนวนตัวประกอบของ 254  จาก การแยกตัวประกอบเฉพาะ ด้วยวิธีแผนภาพต้นไม้ ดังแสดงในภาพ 

ขั้นตอนที่ 3 ผลต่างของจำนวนตัวประกอบของ 50 และ 254 เท่ากับ 6 - 4 = 2 จำนวน #

จากข้อสอบข้อนี้ จะพบว่า เด็กๆต้องรู้ว่า 127 เป็นจำนวนเฉพาะ เพื่อหยุดขั้นตอนการแยกตัวประกอบเฉพาะ ซึ่งจำนวนนับที่เกิน 100 จะมีระเบียบวิธีตรวจสอบจำนวนเฉพาะอย่างเป้นขั้นเป็นตอน ให้เด็กๆได้ใช้เป็นเครื่องมือครับ นอกจากนี้ ยังต้องรู้จักเลขยกกำลังพื้นฐานง่ายๆเพื่อนำไปใช้ในการคำนวณหาจำนวนตัวประกอบด้วยวิธีแยกตัวประกอบเฉพาะ ซึ่งจะเหมาะสำหรับจำนวนนับที่มีค่ามากๆ เช่นจำนวนนับที่มีค่าเกิน 100 เป็นต้น

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ประถมปลาย ระดับจังหวัด ปี 2568 ข้อ 5 (Sol-NAT-MATH20-2568-5)

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ระดับจังหวัด ปี 2568 ประถมปลาย ข้อนี้เป็นการวัดความรู้เรื่อง ตัวประกอบของจำนวนนับ ในการแก้ปัญหา  มาดูโจทย์กันครับ

5. จํานวนตัวประกอบของเลขใดต่อไปนี้“20 64 117” มีจํานวนแตกต่างจากพวก

Sol. ข้อสอบข้อนี้ ต้องการหาจำนวนตัวประกอบของจำนวนนับ 3 จำนวน และนำมาพิจารณาว่าจำนวนนับใดมีจำนวนตัวประกอบไม่เท่ากับตัวอื่นๆอีก 2 ตัว ครับ เราจะใช้ความรู้ Rainbow Model มาหาจำนวนตัวประกอบ เริ่มที่ 

1. ตัวประกอบของ 20 ประกอบไปด้วยจำนวนนับ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20   รวมมีจำนวนตัวประกอบ 6 ตัว

2. ตัวประกอบของ 64 ประกอบไปด้วยจำนวนนับ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 รวมมีจำนวนตัวประกอบ 7 ตัว

3. ตัวประกอบของ 117 ประกอบด้วยจำนวนนับ 1 , 3 , 9 , 13 , 39 , 117 รวมมีจำนวนตัวประกอบ 6 ตัว

ดังนั้นเมื่อนำจำนวนตัวประกอบของจำนวนนับแต่ละตัวมาเปรียบเทียบกัน สรุปได้ว่า จำนวนตัวประกอบของ 64 มีจำนวนแตกต่างจากพวก โดยมีจำนวนตัวประกอบ 7 ตัว ขณะที่ ตัวประกอบของ 64 และ 117 มี 6 จำนวนเท่ากัน #

จากข้อสอบเก่าข้อนี้จะเห็นว่าข้อนี้ไม่ยาก และหากเรา คูณหาร ได้คล่อง ก็จะทำข้อสอบข้อนี้ได้ในเวลาไม่นาน ที่สำคัญ ต้องมีลำดับการวิเคราะห์โจทย์ให้ชัดเจน เพราะข้อสอบข้อนี้ไม่ได้ต้องการทราบจำนวนตัวประกอบ แต่อยากทราบว่าจำนวนนับตัวไหนมีจำนวนตัวประกอบแตกต่างจากจำนวนนับอีก 2 ตัว 

ทักษะการตรวจสอบการหารลงตัวของจำนวนนับจะช่วยให้เราจับคู่ตัวเลขใน Rainbow Model ได้รวดเร็วขึ้น ครับ เนื่องจากนิยามของตัวประกอบคือ ตัวเลขที่หารจำนวนนับนั้นลงตัวพอดี ตัวอย่างเช่น

หากตั้งคำถาม 117 หาร 3 ลงตัวหรือไม่ หากตรวจสอบก่อนและทราบว่าหารไม่ลงตัว เราก็จะขยับไปพิจารณาตัวเลขลำดับถัดได้ทันที ดังนั้นเทคนิคการตรวจสอบการหารลงตัวของจำนวนนับ เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับนักเรียนระดับชั้นประถมศึกษาตอนปลาย เพื่อให้เราทำข้อสอบได้เร็วขึ้น และไปเสียเวลากับข้อสอบที่ต้องมีลำดับการคำนวณหลายขั้นตอนกว่าข้อนี้ครับ

Basic 101 : ตัวประกอบของจำนวนนับ (Factor)

ตัวประกอบของจำนวนนับเป็นพื้นฐานของการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับประถมศึกษาตอนปลายที่สำคัญ เพื่อนำไปใช้ในการเรียนรู้ระดับสูงต่อไป เช่น ห.ร.ม ค.ร.น หรือเศษส่วน ต่อในอนาคต พื้นฐานที่ต้องมีก่อนการเรียนเรื่อง ตัวประกอบของจำนวนนับ คือ การคูณและการหารครับ มาดูคำนิยามของตัวของจำนวนนับกันเลยครับ

ตัวประกอบของจำนวนนับ คือ ตัวเลขที่สามารถหารจำนวนนับนั้นๆได้ลงตัวพอดี (ไม่มีเศษเหลือ) ยกตัวอย่างเช่น

1. จงหาตัวประกอบของ 6 

แนวคิด เราจะใช้จำนวนนับตั้งแต่ 1 ขึ้นไป จนถึง 6 นำไปหาร 6 อาจจะใช้ หารสั้น ก็ได้ จากตัวอย่าง เราจะสรุปได้ว่า

1 เป็นตัวประกอบของ 6 เพราะ 6 หาร 1 ลงตัว

2 เป็นตัวประกอบของ 6 เพราะ 6 หาร 2 ลงตัว

3 เป็นตัวประกอบของ 6 เพราะ 6 หาร 3 ลงตัว

4 ไม่เป็นตัวประกอบของ 6 เพราะ 6 หาร 4 ไม่ลงตัว เพราะเหลือเศษ 2

5 ไม่เป็นตัวประกอบของ 6 เพราะ 6 หาร 5 ไม่ลงตัว เพราะเหลือเศษ 1

6 ไม่เป็นตัวประกอบของ 6 เพราะ 6 หาร 5 ลงตัว

ดังนั้น ตัวประกอบของ 6 มี 4 ตัว คือ 1 , 2 , 3 , 6

2. จงหาตัวประกอบของ 20

แนวคิด เราจะใช้จำนวนนับตั้งแต่ 1 ขึ้นไป จนถึง 20 นำไปหาร 6 อาจจะใช้ หารสั้น ก็ได้ จากตัวอย่าง เราจะสรุปได้ว่า

ตัวประกอบของ 20 มี 6 ตัว คือ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20

จากตัวอย่างการหาตัวประกอบของจำนวนนับ จะพบว่า ตัวประกอบของจำนวนนับ อย่างน้อยต้องมี เลข 1 และ ตัวจำนวนนับนั้นเอง 

การหาตัวประกอบที่ทำได้เร็วขึ้นนอกเหนือจากตัวอย่างข้างต้น เราจะใช้เทคนิคของโมเดลสายรุ้ง (Rainbow Model) เพื่อป้องกันการตกหล่นของตัวเลขที่นำมาพิจารณา โดยเราจะเปลี่ยนมาตั้งคำถาม มาตั้งเป็นการจับคู่ของตัวเลขที่นำมาคูณกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็นของจำนวนนั้น ซึ่งจะสรุปได้ว่า ตัวเลขคู่นั้นนำมาหารจำนวนนับนั้นได้ลงตัวพอดี

เรามาดูแนวคิดของ Rainbow Model  กันครับ

จงหาตัวประกอบของ 20 

เราจะเริ่มจาก จับคู่จากตัวเลขที่น้อยที่สุดก่อน 

เริ่มจาก 1 ตั้งคำถาม 1 คูณ ตัวเลขอะไร ได้ 20  ตัวเลขนั้นคือ 20    เขียนเป็นชุดตัวประกอบได้เป็น 1 , 20

ขยับตัวเลขลำดับถัดไป คือ 2 ตั้งคำถาม 2 คูณ ตัวเลขอะไรได้ 20 ตัวเลขนั้นคือ 10 แทรกคู่ตัวเลขนี้ตามลำดับจากคู่แรก เขียนได้เป็น 1 , 2 , 10 , 20

ตัวเลขถัดไปคือ 3 จะพบว่า ไม่มีเลขใดที่คูณ 3 แล้วได้ 20 ข้ามไปคู่ถัดไป

ตัวเลขถัดไปคือ 4 ตั้งคำถาม 4 คูณ ตัวเลขอะไรได้ 20 ตัวเลขนั้นคือ 5 แทรกคู่ตัวเลขนี้ตามลำดับจากคู่ที่สองเขียนได้เป็น 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20

ตัวเลขถัดไปคือ 5 ตั้งคำถาม 5 คูณ ตัวเลขอะไรได้ 20 ตัวเลขนั้นคือ 4 จะพบว่าไม่สามารถแทรกคู่ตัวเลขนี้ได้แล้วเพราะ ซ้ำกับ คู่ที่แล้ว

เราจะหยุดการจับคู่ในขั้นตอนนี้แล้ว เพราะเราขยับคู่ตัวเลขถึงกึ่งกลางของคู่ตัวเลขที่คูณกันแล้วได้ 20 เนื่องจาก 4x5 = 5x4 = 20

ดังนั้น สรุปได้ว่า ตัวประกอบของ 20 เท่ากับ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 ดังแสดงในรูป Rainbow

Rainbow Model สำหรับหาตัวประกอบของจำนวนนับ

จากความรู้การหาตัวประกอบของจำนวนนับ ในทางคณิตศาสตร์ จะนำไปใช้แบ่งประเภทของจำนวนที่สำคัญในทางคริตศาสตร์ นั้นคือ จำนวนเฉพาะ (Prime Number) และจำนวนประกอบ (Composite Number) ซึ่งจะนำเสนอต่อไป

ในข้อสอบแข่งขันต่างๆ ในการวัดความรู้เรื่อง ตัวประกอบของจำนวนนับ จะมีรูปแบบต่างๆดังนี้ครับ

1. หาตัวประกอบทั้งหมดมีกี่ตัวอะไรบ้าง

2. ถามหาจำนวนตัวประกอบของจำนวนนั้น

3. หาผลรวมของจำนวนตัวประกอบทั้งหมด

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ประถมต้น ระดับจังหวัด ปี 2562 ข้อ 10 (Sol-NAT-MATH10-2562-10)

โจทย์ข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ประถมต้น ระดับจังหวัด ปี 2562 ข้อที่ 10 เป็นโจทย์ที่ต้องการวัดผลทักษะการวิเคราะห์โจทย์แบบมีเงื่อนไข การจัดหมวดหมู่ตัวเลข ความเข้าใจเรื่องค่าประจำหลักหน่วย หลักสิบ และหลักร้อย

ข้อสอบถามว่า

10. จำนวนที่อยู่ระหว่างเลข 79 – 209 มีเลข 9 ทั้งหมดกี่ตัว

Sol. หาจำนวนที่อยู่ระหว่างเลข 79 - 209 ที่มีเลข 9 อยู่ในหลักหน่วยหรือหลักสิบ และนับเลข 9 ที่ปรากฎในจำนวนเหล่านั้น

แนวคิด เด็กๆควรแบ่งการตรวจสอบเป็นหมวดหมู่ เพื่อให้ง่ายต่อการตรวจสอบ 

ในหลักหน่วย (0 -9) เราจะมีเลข 9 เพียง 1 จำนวน

ในการตรวจสอบจะละเว้น 79 และ 209 เพราะโจทย์ให้ตรวจสอบจำนวนที่อยุ่ระหว่างจำนวน 2 จำนวนนี้เท่านั้น 

จะแบ่งตัวเลขในการพิจารณาครั้งละ 10 ตัว

ชุด 1 : 80 - 89 พิจารณาเฉพาะหลักหน่วย พบว่ามีจำนวนที่มีเลข 9  1 จำนวน คือ 89 ดังนั้น มี เลข 9 รวม 1 ตัว

ชุด 2 : 90 - 99 ชุดนี้พบเลข 9 อยู่ในหลักสิบ ในทุกๆ จำนวน ดังนั้น จะมีเลข 9 10 จำนวน คือ 90 , 91 , 92 , 93 , 94 , 95 , 96 , 97 , 98 , 99  ดังนั้นมีเลข 9 11 จำนวน

ชุด 3 : 100 - 109   พิจารณาเฉพาะหลักหน่วย จะมีจำนวนที่มีเลข 9  1 จำนวน คือ 109 ดังนั้น มี เลข 9 รวม 1 ตัว

ชุด 4 : 110 - 119   พิจารณาเฉพาะหลักหน่วย จะมีจำนวนที่มีเลข 9  1 จำนวน คือ 119 ดังนั้น มี เลข 9 รวม 1 ตัว

ชุด 5 : 120 - 129   พิจารณาเฉพาะหลักหน่วย จะมีจำนวนที่มีเลข 9  1 จำนวน คือ 129 ดังนั้น มี เลข 9 รวม 1 ตัว

ชุด 6 : 130 - 189   พิจารณาเฉพาะหลักหน่วย จะมีจำนวนที่มีเลข 9  6 จำนวน คือ 139 , 149 , 159 , 169 , 179 , 189 ดังนั้น มี เลข 9 รวม 6 ตัว

ชุด 7 : 190 - 199  ชุดนี้พบเลข 9 อยู่ในหลักสิบ ในทุกๆ จำนวน ดังนั้น จะมีจำนวนที่มีเลข 9 10 จำนวน คือ 190 , 191 , 192 , 193 , 194 , 195 , 196 , 197 , 198 , 199 ดังนั้น มี เลข 9 รวม 11 ตัว

ชุดที่ 8 : 200 - 208 ชุดนี้ไม่พบเลข 9 ในจำนวนจริง เลย

ดังนั้น จำนวนที่อยู่ระหว่างเลข 79 – 209 มีเลข 9 ทั้งหมด เท่ากับ 1 + 11 + 3 + 6 + 11 = 32 ตัว #

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ประถมต้น ระดับจังหวัด ปี 2562 ข้อ 9 (Sol-NAT-MATH10-2562-9)

ข้อสอบ คณิตศาสตร์ สวช ประถมต้น ระดับจังหวัด ปี 2562 ข้อที่ 9 เป็นการวัดทักษะการวิเคราะห์โจทย์ และทักษะการบวกและลบ

9. พิจารณาการบวกและการลบดังต่อไปนี้

ผลลัพธ์ที่น้อยกว่า 85 มีกี่ข้อ

1.) 52 + 39 2.) 84 – 67 3.) 39 + 72 4.) 18 + 67 5.) 34 + 27

Sol. ข้อสอบข้อนี้ ต้องหาว่า มีลัพธ์ที่น้อยกว่า 85 กี่ข้อ

ข้อสอบข้อนี้ไม่ยากแต่ต้องใช้เวลาในการบวกและลบ และพิจารณาผลลัพธ์ว่าน้อยกว่า 85 หรือไม่ ถ้าใช้ให้นับข้อนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข

มาดูผลลัพธ์แต่ละข้อกัน แนะนำให้บวก ลบ แนวตั้งครับ รวดเร็ว

จากผลลัพธ์การบวกและการลบ เราจะได้คำตอบว่า ผลลัพธ์ที่น้อยกว่า 85 มี 2 ข้อ #

Link

ข้อสอบ คณิตศาสตร์ สวช ระดับประถมต้น ระดับจังหวัด ปี 2562

ข้อ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8