BASIC 101 : การหาผลรวมแบบเกาส์ (Gauss Summation)

การหาผลรวมแบบเกาส์ เป็นกรณีศึกษาของความช่างสังเกตุของเด็กชั้นประถมศึกษา คนหนึ่ง เด็กคนนั้นชื่อ Karl Friedrich Gauss ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่มีชื่อเสียงมาก เรามาดูที่มาของการหาผลรวมแบบเกาส์ กันครับ มีเรื่องเล่ากันว่า ครูคนหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ได้ให้โจทย์ หาผลบวกของชุดตัวเลข ตั้งแต่ 1 - 100 กับเด็กนักเรียนในห้อง เพื่อหวังว่า เด็กๆจะใช้เวลาสำหรับหาผลบวกได้นาน ซึ่งจะทำให้คุณครูมีเวลาทำอย่างอื่นระหว่างนั้น แต่ทว่า เกาส์ ได้ใช้เวลาไม่นานก็เดินมาหาคุณครูพร้อมส่งผลบวกตั้งแต่ 1- 100 ว่ามีค่าเท่ากับ 5,050 เรามาดูกันว่า เกาส์ เขาหาผลบวกในเวลาที่ไม่นานได้อย่างไร

ถ้า S คือผลบวก 1-100 เราจะเขียน S ใรูปผลบวกได้เป็น

S = 1+2+3+4+5+...+ 99 + 100

หากเขียน S ในรูปผลบวก ให้มากขึ้นดังภาพ เกาส์ สังเกตุว่า หากจับคู่ชุดตัวเลข ลำดับต้น และลำดับท้าย เป็นคู่ๆ เรียงลำดับกันมา เช่น 1 คู่กับ 100 , 2 คู่กับ 99 ....คู่สุดท้าย 50 คู่กับ 51จะพบว่า ผลบวกของแต่ละคู่มีค่าเท่ากับ 101 และ มีชุดตัวเลขทั้งหมด 50 คู่ ดังนั้น S = 50x101 = 5,051  

Ref. ©2021 Let’s Talk Science

จะเห็นว่า เกาส์ได้ใช้เวลาตอนเริ่มต้นในการสังเกตุและคิดแก้ปัญหาโจทย์คณิตศาสตร์ข้อนี้ ก่อนที่จะคำนวณ ดังนั้นทักษะหนึ่งที่สำคัญของการเรียนคณิตศาสตร์ คือการสังเกตุและวิเคราะห์โจทย์ปัญหา ซึ่งจะทำให้ลดข้อผิดพลาดได้ค่อนข้างมากครับ กลับกัน หาก เด็กๆไปเจอโจทย์คณิตศาสตร์ลักษณะนี้ แต่ลดจำนวนตัวเลขลง เช่น หาผลบวก ตั้งแต่ 1 - 10 หากเราจะใช้การบวกทีละตัวก็ย่อมได้ แต่คงต้องใช้เวลานานและมีโอกาสบวกผิด ใน ชุดท้ายๆได้ แต่หากเราใช้ การหาผลบวกของเกาส์ ข้อนี้เราจะคิดดังนี้ครับ

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 +8 +9 +10 = (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6) = 11 + 11 + 11 + 11 +11 = 5*11 = 55
เขียนสั้นๆ ได้เป็น S = 5*11 = 55

ชวนคิด 1

1. ชุดลำดับที่เรียงกันโดยมีระยะห่างเท่าๆกัน จะเรียกว่า ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence)

2. ผลบวกของลำดับเลขคณิต จะเรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (arithmetic series)

ดังนั้น ผลบวกของจำนวนเต็ม 1- 100 ก็จัดว่าเป็น อนุกรมเลขคณิตเช่นกัน โดยมีระยะห่างเท่ากับ 1  

ชวนคิด 2

ลำดับเลข 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ... จัดเป็นลำดับเลขคณิต ที่มีระยะห่าง เท่ากับ 2  จะเรียกว่า ลำดับเลขคี่

S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +....+99   จะหาผลบวกของเลขคี่ ตั้งแต่ 1 - 99 ได้อย่างไร

ลำดับเลข 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ... จัดเป็นลำดับเลขคณิต ที่มีระยะห่าง เท่ากับ 2 จะเรียกว่า ลำดับเลขคู่

S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +....+100 จะหาผลบวกของเลขคู่ ตั้งแต่ 2 - 100 ได้อย่างไร

บทความที่เกี่ยวข้อง

Basic 101 : มารู้จักจำนวนจริงกัน (Real Number)

 

Ref. https://mathmonks.com/real-numbers

ก่อนศึกษาคณิตศาสตร์ ขอให้เด็กๆทบทวนพื้นฐานกันก่อนนะครับ คณิตศาสตร์ที่เราจะเรียนจะเป็นคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนจริงนะครับ จำนวนจริง จะพบเจอในธรรมชาติ เป็นจำนวนที่อธิบายปรากฎการทางธรรมชาติได้ เราจะแบ่งประเภทหรือชนิดของจำนวนจริงออกได้ตามแผนภาพด้านบน ผมจะขออธิบายรายละเอียดเพื่อให้เข้าใจอีกครั้งดังนี้

จำนวนจริง แบ่ง ออกเป็น 2 ประเภทใหญ่หลักๆ ได้ดังนี้

1. จำนวนตรรกยะ (rational Number) เป้นจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ โดยที่ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ เช่น 0.25 (1/4) , 10 (10/1) , -0.5 (-1/2) เป็นต้น โดยจำนวนตรรกยะ ยังแบ่งออกเป็น 2 ประเภทได้อีกคือ 

       1.1 จำนวนเต็ม (Integer Number) เป็นจำนวนที่ไม่มีส่วนทศนิยม เช่น -1 , 0 , 1, 10 เป็นต้น และจำนวนเต็มยังแบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ

                  1.1.1 Whole Number คือจำนวนเต็มที่มีค่าตั้งแต่ 0 และจำนวนเต็มบวกทั้งหมด และสามารถแบ่งได้เป็น 2 ชนิดคือ

                                  1.1.1.1 จำนวน 0

                                  1.1.1.2  จำนวนนับ ซึ่งจะเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 0

                  1.1.2 จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่า 0 เช่น -1 , -2 , -100 เป็นต้น

       1.2 จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม (Non Integer Number)  จะแบ่งออกเป็น 2 ประเภทดังนี้

                  1.2.1 จำนวนทศนิยม (Decimal Number) เช่น 0.2 , -0.5 เป็นต้น

                  1.2.2 จำนวนเศษส่วน (Fraction Number) เช่น 1/5 , -1/2 เป็นต้น

2. จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) ซี่งเป็นจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปสัดส่วนได้ และเป็นจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปทศนิยมแบบมีที่สิ้นสุดได้ (เขียนได้ไม่รู้จบ)  เช่น ค่า PI , e (Euler Number) , รากที่ 2 ของ 5 เป็นต้น

ในการเรียนระดับประถมศึกษา เราจะเรียนในระบบจำนวนจริง ในกลุ่มของจำนวน ตรรกยะ โดยจะเริ่มเรียนการใช้ ตัวดำเนินการคณิตศาสตร์ บวก ลบ คูณ หาร กับจำนวนจริงประเภทต่างๆดังนี้

1. Whole Number    (Zero Number & จำนวนนับ) 

2. Non Integer Number 

           2.1 เศษส่วน (Fraction)

           2.2 ทศนิยม (Decimal) 

           2.3 ความสัมพันธ์ระหว่าง เศษส่วนและทศนิยม

ขอให้เด็กๆดูแผนภาพและอ่านทำความเข้าใจที่ผมเขียนอธิบาย เพื่อให้เห็นแผนภาพในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ในระดับประถมอย่างเข้าใจครับ อ่านทบทวนดูนะครับ

Link Youtube ที่เกี่ยวข้อง 

         

แนะนำแนวทางของ Blog เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ระดับประถม

 สวัสดีครับ Blog นี้ ผมเปิดมามีวัตถุประสงค์ต้องการเผยแพร่ความรู้ทางคณิตศาสตร์ระดับประถมให้กับเด็กไทย จากประสบการณ์การเรียนคณิตศาสตร์มา ผมพบว่า พื้นฐานคณิตศาสตร์ระดับประถมเป็นสิ่งสำคัญ ที่จะเรียนต่อยอดในระดับที่สูงขึ้น ผมคาดหวังว่า ความรู้ที่ผมจะแชร์ใน Blog นี้จะช่วยให้เด็กไทยมีความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่ดี และนำไปใช้เรียนในระดับที่สูงขึ้น และผลักดันให้ประเทศของเรามีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีได้อย่างยั่งยืน ยกระดับ GDP ประเทศของเราให้สูงขึ้นสู่ระดับประเทศพัฒนาแล้ว มีรัฐสวัสดิการที่ดี รองรับประชากรของประเทศ สุดท้ายขอขอบพระคุณครูบาอาจารย์ที่สั่งสอนพื้นฐานคณิตศาสตร์  จนผมมีวิชาชีพหาเลี้ยงตัวเองและครอบครัวในปัจจุบัน และผมยังมีความคาดหวังจะนำ คณิตศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ ไปพัฒนาเศรษฐกิจของประเทศต่อไปครับ

รูปแบบของบทความใน Blog จะเป็นการเฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์จากข้อสอบเก่าหลากหลาย โดยอธิบายเป็นขั้นเป็นตอน แจกแบบฝึกหัดพร้อมเฉลยคณิตศาสตร์เพื่อให้เด็กๆนำไปทดลองทำ  แทรกด้วยการอธิบายวิธีการคิด คำนวณ ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ระดับประถม เพื่อเสริมความรู้พื้นฐานให้เด็กๆ