BASIC 101 : การหาผลรวมแบบเกาส์ (Gauss Summation)

การหาผลรวมแบบเกาส์ เป็นกรณีศึกษาของความช่างสังเกตุของเด็กชั้นประถมศึกษา คนหนึ่ง เด็กคนนั้นชื่อ Karl Friedrich Gauss ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่มีชื่อเสียงมาก เรามาดูที่มาของการหาผลรวมแบบเกาส์ กันครับ มีเรื่องเล่ากันว่า ครูคนหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ได้ให้โจทย์ หาผลบวกของชุดตัวเลข ตั้งแต่ 1 - 100 กับเด็กนักเรียนในห้อง เพื่อหวังว่า เด็กๆจะใช้เวลาสำหรับหาผลบวกได้นาน ซึ่งจะทำให้คุณครูมีเวลาทำอย่างอื่นระหว่างนั้น แต่ทว่า เกาส์ ได้ใช้เวลาไม่นานก็เดินมาหาคุณครูพร้อมส่งผลบวกตั้งแต่ 1- 100 ว่ามีค่าเท่ากับ 5,050 เรามาดูกันว่า เกาส์ เขาหาผลบวกในเวลาที่ไม่นานได้อย่างไร

ถ้า S คือผลบวก 1-100 เราจะเขียน S ใรูปผลบวกได้เป็น

S = 1+2+3+4+5+...+ 99 + 100

หากเขียน S ในรูปผลบวก ให้มากขึ้นดังภาพ เกาส์ สังเกตุว่า หากจับคู่ชุดตัวเลข ลำดับต้น และลำดับท้าย เป็นคู่ๆ เรียงลำดับกันมา เช่น 1 คู่กับ 100 , 2 คู่กับ 99 ....คู่สุดท้าย 50 คู่กับ 51จะพบว่า ผลบวกของแต่ละคู่มีค่าเท่ากับ 101 และ มีชุดตัวเลขทั้งหมด 50 คู่ ดังนั้น S = 50x101 = 5,051  

Ref. ©2021 Let’s Talk Science

จะเห็นว่า เกาส์ได้ใช้เวลาตอนเริ่มต้นในการสังเกตุและคิดแก้ปัญหาโจทย์คณิตศาสตร์ข้อนี้ ก่อนที่จะคำนวณ ดังนั้นทักษะหนึ่งที่สำคัญของการเรียนคณิตศาสตร์ คือการสังเกตุและวิเคราะห์โจทย์ปัญหา ซึ่งจะทำให้ลดข้อผิดพลาดได้ค่อนข้างมากครับ กลับกัน หาก เด็กๆไปเจอโจทย์คณิตศาสตร์ลักษณะนี้ แต่ลดจำนวนตัวเลขลง เช่น หาผลบวก ตั้งแต่ 1 - 10 หากเราจะใช้การบวกทีละตัวก็ย่อมได้ แต่คงต้องใช้เวลานานและมีโอกาสบวกผิด ใน ชุดท้ายๆได้ แต่หากเราใช้ การหาผลบวกของเกาส์ ข้อนี้เราจะคิดดังนี้ครับ

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 +8 +9 +10 = (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6) = 11 + 11 + 11 + 11 +11 = 5*11 = 55
เขียนสั้นๆ ได้เป็น S = 5*11 = 55

ชวนคิด 1

1. ชุดลำดับที่เรียงกันโดยมีระยะห่างเท่าๆกัน จะเรียกว่า ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence)

2. ผลบวกของลำดับเลขคณิต จะเรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (arithmetic series)

ดังนั้น ผลบวกของจำนวนเต็ม 1- 100 ก็จัดว่าเป็น อนุกรมเลขคณิตเช่นกัน โดยมีระยะห่างเท่ากับ 1  

ชวนคิด 2

ลำดับเลข 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ... จัดเป็นลำดับเลขคณิต ที่มีระยะห่าง เท่ากับ 2  จะเรียกว่า ลำดับเลขคี่

S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +....+99   จะหาผลบวกของเลขคี่ ตั้งแต่ 1 - 99 ได้อย่างไร

ลำดับเลข 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ... จัดเป็นลำดับเลขคณิต ที่มีระยะห่าง เท่ากับ 2 จะเรียกว่า ลำดับเลขคู่

S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +....+100 จะหาผลบวกของเลขคู่ ตั้งแต่ 2 - 100 ได้อย่างไร

บทความที่เกี่ยวข้อง