Basic 101 : การแยกตัวประกอบเฉพาะ (Prime Factorization)

 Basic ของคณิตศาสตร์ระดับประถมปลาย หลังจากเรียนรู้ ตัวประกอบของจำนวนนับ จำนวนเฉพาะ จำนวนประกอบไปแล้ว ลำดับถัดมาคือ การแยกตัวประกอบเฉพาะ ซึ่ง จากคุณสมบัติของจำนวนประกอบ ซึ่งกล่าวว่า จำนวนประกอบจะเขียนในรูปการคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงรูปแบบเดียว เท่านั้น (Prime Factorization) ซึ่งประโยชน์ของการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนประกอบ คือ การนำไปใช้หา ห.ร.ม , ค.ร.น. โดยวิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะจะสามารถทำได้ 2 วิธี คือ การหารสั้น และแผนผังต้นไม้ 

การแยกตัวประกอบด้วยการคูณหรือเขียนแผนภาพต้นไม้

1. ในแผนภาพต้นไม้จะเขียนแยกจำนวนในลำดับสูงกว่าด้วยการคูณกันของ 2 จำนวน เช่น 12 คือ 6 x 2 เป็นต้น 

2. หากจำนวนที่คูณกัน 2 จำนวน ในลำดับสูงกว่า จำนวนใดยังไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ก็จะเขียนการคูณกันในลำดับถัดไปเรื่อยๆ จน ถึงลำดับสุดท้ายจะได้จำนวนคูณกัน 2 จำนวน เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด 

3. นำจำนวนเฉพาะในลำดับสุดท้ายของกิ่งไม้ มาเขียนในรูปผลคูณทั้งหมด จะได้เป็น การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนประกอบนั้น

4. การแยกตัวประกอบเฉพาะท้ายที่สุดแล้วจะนิยมเขียนในรูปของการคูณกันของเลขยกกำลังที่มีเลขฐานเป็นจำนวนเฉพาะ

ดังตัวอย่างตามภาพ

การแยกตัวประกอบเฉพาะด้วยการหารสั้น

ในการหารสั้นจะเลือกจำนวนเฉพาะที่สามารถหารตัวเลขได้ลงตัว และให้หารผลลัพธ์ในลำดับก่อนหน้าไปเรื่อยๆด้วยจำนวนเฉพาะจนได้ผลลัพธ์เท่ากับ 1 ดังนั้นทักษะการตรวจสอบการหารลงตัวด้วยจำนวนนับ (ไม่เหลือเศษ) จึงมีความจำเป็นและช่วยให้แยกตัวประกอบเฉพาะได้รวดเร็ว มาดูตัวอย่างการแยกตัวประกอบเฉพาะด้วยการหารสั้นดังภาพ

การแยกตัวประกอบเฉพาะนอกจากจะใช้ในการหา ห.ร.ม , ค.ร.น. แล้ว การสอบแข่งขันในสนามสอบต่างๆเช่น สวช TDET ASMO หรือการสอบเรียนต่อระดับมัธยมศึกษาตอนต้น จะมีข้อสอบหนึ่งที่มักจะออกเสมอๆนั่นคือ การหาจำนวนประกอบของจำนวนนับ และ การหาผลรวมของจำนวนประกอบทั้งหมดของจำนวนนับ ซึ่งทั้งสองโจทย์ปัญหานี้จะนำเทคนิคการแยกตัวประกอบเฉพาะมาใช้แก้ปัญหาซึ่งจะนำเสนอต่อไป

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ประถมปลาย ระดับจังหวัด ปี 2568 ข้อ 5 (Sol-NAT-MATH20-2568-5)

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สวช ระดับจังหวัด ปี 2568 ประถมปลาย ข้อนี้เป็นการวัดความรู้เรื่อง ตัวประกอบของจำนวนนับ ในการแก้ปัญหา  มาดูโจทย์กันครับ

5. จํานวนตัวประกอบของเลขใดต่อไปนี้“20 64 117” มีจํานวนแตกต่างจากพวก

Sol. ข้อสอบข้อนี้ ต้องการหาจำนวนตัวประกอบของจำนวนนับ 3 จำนวน และนำมาพิจารณาว่าจำนวนนับใดมีจำนวนตัวประกอบไม่เท่ากับตัวอื่นๆอีก 2 ตัว ครับ เราจะใช้ความรู้ Rainbow Model มาหาจำนวนตัวประกอบ เริ่มที่ 

1. ตัวประกอบของ 20 ประกอบไปด้วยจำนวนนับ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20   รวมมีจำนวนตัวประกอบ 6 ตัว

2. ตัวประกอบของ 64 ประกอบไปด้วยจำนวนนับ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 รวมมีจำนวนตัวประกอบ 7 ตัว

3. ตัวประกอบของ 117 ประกอบด้วยจำนวนนับ 1 , 3 , 9 , 13 , 39 , 117 รวมมีจำนวนตัวประกอบ 6 ตัว

ดังนั้นเมื่อนำจำนวนตัวประกอบของจำนวนนับแต่ละตัวมาเปรียบเทียบกัน สรุปได้ว่า จำนวนตัวประกอบของ 64 มีจำนวนแตกต่างจากพวก โดยมีจำนวนตัวประกอบ 7 ตัว ขณะที่ ตัวประกอบของ 64 และ 117 มี 6 จำนวนเท่ากัน #

จากข้อสอบเก่าข้อนี้จะเห็นว่าข้อนี้ไม่ยาก และหากเรา คูณหาร ได้คล่อง ก็จะทำข้อสอบข้อนี้ได้ในเวลาไม่นาน ที่สำคัญ ต้องมีลำดับการวิเคราะห์โจทย์ให้ชัดเจน เพราะข้อสอบข้อนี้ไม่ได้ต้องการทราบจำนวนตัวประกอบ แต่อยากทราบว่าจำนวนนับตัวไหนมีจำนวนตัวประกอบแตกต่างจากจำนวนนับอีก 2 ตัว 

ทักษะการตรวจสอบการหารลงตัวของจำนวนนับจะช่วยให้เราจับคู่ตัวเลขใน Rainbow Model ได้รวดเร็วขึ้น ครับ เนื่องจากนิยามของตัวประกอบคือ ตัวเลขที่หารจำนวนนับนั้นลงตัวพอดี ตัวอย่างเช่น

หากตั้งคำถาม 117 หาร 3 ลงตัวหรือไม่ หากตรวจสอบก่อนและทราบว่าหารไม่ลงตัว เราก็จะขยับไปพิจารณาตัวเลขลำดับถัดได้ทันที ดังนั้นเทคนิคการตรวจสอบการหารลงตัวของจำนวนนับ เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับนักเรียนระดับชั้นประถมศึกษาตอนปลาย เพื่อให้เราทำข้อสอบได้เร็วขึ้น และไปเสียเวลากับข้อสอบที่ต้องมีลำดับการคำนวณหลายขั้นตอนกว่าข้อนี้ครับ